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[고조파 억제 대책] 고조파 리액턴스를 고려한 인버터 구동 영구자석 모터의 전류 파형 산출법
2010-04-05



개요

최근 에너지 절약, 고효율화를 목표로 기기의 전동화가 진행되는 가운데 영구자석 동기 모터(PMSM)의 인버터 구동에 의한 고효율 운전이 왕성히 행해지게 됐다.
인버터 구동 모터는 인버터 스위칭에 의한 고조파 손실을 피할 수 없기 때문에, 고조파 손실 해석은 PMSM의 고효율화를 위해 그 중요성이 날로 높아지고 있다.
그러나 모터 설계 단계에서 인버터 구동 시 고조파 전류가 주어지는 경우는 적어서 모터의 비선형성, 자석의 소용돌이전류 등을 감안한다면, 손실을 평가하는 고(高) 정밀도의 방법으로 외부 회로와 연성한 전압 파형 입력에 의한 유한요소법(FEM) 자계 해석이 필요하다.
일반적으로 PWM 파형은 급격한 전압의 연속 발생이기 때문에, 고차(高次)에 이르는 주파수 성분이 포함되어 세세하게 시간 단계를 설정한 FEM 자계해석이 필요하다.
따라서 손실 이전에 전류 파형의 계산 결과를 스크리닝(Screening)하는 과정도 필요하므로 상보(相補)적인 전류 해석을 할 수 있는 별도의 해석 방법이 있으면 계산 결과의 스크리닝이라는 관점에서 유용할 것으로 보인다.
이러한 고찰을 바탕으로 전압 입력 FEM 자계 해석과는 다른 별도의 전류 파형 해석 방법으로 dq축 방정식에 근거한 방법에 주목했다.
그러나 dq축 방정식을 풀기 위해서는 부하 상태에 따라 다른 비선형성이 높은 리액턴스나, 소용돌이 전류의 영향이 발생할 것으로 보이는 고차 고조파 성분에 대한 리액턴스 등 정밀도 면에서 충분히 검토해야 하는 과제가 있다.
이러한 과제에 대해 본고에서는 교차 자화 작용을 고려한 리액턴스, 자석 자속에 바탕을 둔 기본파 특성과 PWM 파형에 포함된 고차 고조파에 대한 리액턴스를 FEM 자계 해석에 따라 검토한다. 특히 선형 리액턴스만을 생각한 경우와 비교해 전류 파형의 재현 정밀도를 수치적으로 확인한다.

 


[그림 1] 전류 파형 해석 계산 흐름도
* 위 이미지를 클릭하시면 크게 보실 수 있습니다.


그 결과 기본파 전류 정밀도에 대해 기본파 리액턴스의 비선형성을 무시할 수 없다는 점, 고차 고조파 성분에 대한 리액턴스 수치가 기본파 성분에 대한 리액턴스 수치와 다르다는 점을 분명히 한다. 또한 이러한 점을 고려하면 dq축 방정식으로도 PWM인버터 구동 시 전류 파형의 실측과 계산이 일치하는 결과도 얻을 수 있다.

계산 방법

1. 계산 흐름도
전압 파형에서 전류 파형을 산출하기 위해서는 임피던스를 구할 필요가 있다. 임피던스에는 저항 성분과 리액턴스 성분이 존재하지만, PMSM에서는 부하 상태의 차이에 따른 기기 내 자기 포화 상태의 변화 등이 있어 리액턴스 성분을 일정한 수치로 보는 것이 불가능하다. 따라서 FEM 자계 해석을 이용한 산출법이 정밀도 면에서 유리하다고 할 수 있
다. 여기서는 선형 리액턴스에 따른 계산, dq축 상호 간섭을 고려한 기본파 리액턴스 계산, 고조파 리액턴스를 고려한 계산 이 세 가지 경우를 검토해 리액턴스 고려법에 의한 전류 파형의 차이를 살펴보기로 한다.
<그림 1>은 전류 파형 해석의 계산 흐름도를 나타낸 것이다. 첫 번째 경우로서, 기본파 선형 리액턴스를 이용한 전류 파형 해석의 흐름을 표시했다. 기본파 선형 리액턴스는 부하 상태에 따르지 않고 구조수치 및 정격 시 자속에 의존한 자로(磁걟) 가정에 따라 구하는 것이 일반적이다. 얻어진 리액턴스, 영구자석에 의해 발생하는 자속을 dq축 방정식에 입력해 방정식을 풀면 전류 파형을 얻을 수 있다.
두 번째 경우는 dq축 상호 간섭을 고려한 전류 파형 해석이다. 먼저 기본파를 대상으로 특정 부하 상태를 해석한다. 즉, 모터의 운전 조건인 토크(Torque), 전압, 회전수를 입력해 자계 해석과 dq축 방정식을 연성시켜 희망하는 부하 조건에서의 자석에 의한 자속과 전기자 기자력의 진폭, 상차각을 탐색한다. 탐색한 부하 조건에서의 기본파 전압과, 왜
파전압에서의 기본파 성분의 위상을 일치시키고 왜파전압을 입력해 교차 자화 작용을 고려한 dq축 방정식을 통해 전류 파형을 산출한다.
세 번째 경우는 두 번째 경우에서 나아가 고조파 리액턴스를 고려한다. 먼저 기본파를 대상으로 한 부하 상태 탐색 해석을 실시하고, 두 번째 경우와 같이 기본파의 부하 상태를 특정해 기본파에 대한 리액턴스를 수치화한다. 그리하여 고조파 리액턴스 산출법을 통해 고조파 리액턴스를 산출, 리액턴스의 고조파 특성을 얻는다. 왜파전압 입력 시의 전류
파형 해석은 부하 상태 탐색 해석 결과로 얻은 기본파 리액턴스와 고조파 리액턴스 특성, 영구자석에 의해 발생하는 자속을 교차 자화 작용을 고려한 dq축 방정식에 입력하고 풀어서 전류 파형을 계산한다. 이렇게 하면 토크 파형도 얻을 수 있으며, 계산된 전류 파형을 입력해서 과도자계 해석을 하면 자속 분포, 전자력 분포 등을 계산할 수 있다. 또한 자계 해석의 결과로 공간 고조파를 고려한 토크 파형도 얻을 수 있다.

2. 교차 자화 작용을 고려한 dq축 방정식
이 방법은 고 정밀도의 기본파 특성 계산을 위해 dq축 방정식에 자기포화 영향을 고려해 dq축 상호간섭을 표현했다. 0상 성분을 무시한 dq축 방정식은 다음과 같다.

 


여기서
: d축 권선 쇄교 자속,
: q축 권선 쇄교 자속,
: 영구자석에 의해 발생하는 d축 자속,
: 영구자석에 의해 발생하는 q축 자속, id : d축 전기자전류, iq : q축 전기자전류, χdd : d축 동기 리액턴스, χqq : q축 동기 리액턴스, χdq : q축 권선에 단위전류를 통전했을 때의 d축 권선 쇄교 자속에 해당하는 리액턴스, χqd : d축 권선에 단위전류를 통전했을 때의 q축 권선 쇄교 자속에 해당하는 리액턴스이다.
(1)의 식에서 영구자석에 의해 발생하는 자속과 리액턴스는 자기포화에 의해 수치가 변화하게 되는데, 그 중
, χdq , χqd 는 자기포화가 발생하지 않는 경우에는 0이 된다.
dq축 상호 간섭을 고려한 dq축 전압 방정식은 다음과 같다.

 


여기서
: d축 권선전압,
: q축 권선전압, ω : 회전자의 회전수 상당각 주파수, r : 전기자 권선 저항이다.
또한 각 상의 전압이 고조파를 포함한 3상 평행조건이라고 가정하면 dq 변환을 이용해
,
는 (4)의 식과 같이 나타난다.

 


여기서 Vn : n차 고조파 전압 실효치,
: n차 고조파 전압 위상각,
: 초기 위상각이다.
이상 (1)에서 (4)의 식을 이용해 id , iq를 산출해 나간다. 여기서 (1)의 식으로 영구자석에 의해 발생하는 자속에 대해서는 시간 변화가 없는 직류 성분만을 고려해 다음 식을 가정한다.

 


여기서
: 영구자석에 의해 발생하는 d축 직류 자속,
: 영구자석에 의해 발생하는 q축 직류 자속이다.
다음으로 d축, q축 전류식을 아래와 같이 가정한다.

 


여기서 Id : d축 직류전류 실효치, Iq : q축 직류 전류 실효치, Idn : d축 n차 고조파 전류 실효치, Iqn: q축 n차 고조파 전류 실효치, αdn : d축 n차 고조파 전류 위상각, αqn : q축 n차 고조파 전류 위상각이다.
(1)부터 (4)의 식에서 (5)부터 (7)의 식을 대입하면 얻어지는 d축, q축 전류식은 (8), (9)의 식과 같다. 표기는 모두 단위법 표기이다.

 


단, 기본파 성분에 해당하는 dq축 전류는 (10),

 



(11)의 식과 같다.
여기서 Vd : d축 전압 실효치, Vq : q축 전압 실효치이다.
dq축 상에서 교류 성분이 되는, 시간 고조파 성분에 해당하는 dq축 전류는 아래와 같이 구할 수 있다.

 


이때 (10), (11)의 식에 있어서의
,
는 각각(16), (17)의식과 같이 된다.

 


(16), (17)의 식을 역 dq 변환함으로써 3상 전류파형을 얻을 수 있다.

3. 고조파 리액턴스 산출법
고조파 리액턴스는 FEM 자계 해석으로 구한다. 처음에 있는 부하 상태에서 <그림 1>의 두 번째 경우에 해당하는 FEM 자계 해석을 통해 그 시점의 투자율(透磁괽) 분포를 기억해 둔다. 이 투자율 분포를 이용해 계산한 주파수를 파라미터로 한 d축 전류, q축 전류를 각각 통전해 리액턴스를 계산한다.
d축 전류, q축 전류와도 구동용 인버터 스위칭 주파수 이상의 주파수까지 계산해 (18)의 식으로 인덕턴스를 계산한다.

 


한편, dq축 사이의 교차 자화 작용에 근거한 리액턴스 및 고조파에 대한 영향은 작은 것으로 여겨 무시하기로 했다.

해석 결과

<그림 2>는 이 해석에 사용한 6극, 1,500min-1, 5㎾-PMSM의 외관 및 측정 벤치를 나타낸 것이다.
측정 시 같은 자석 모터 2대를 접속하고 그 사이에 토크 픽업을 접속해 입력 출력을 측정했다. <표 1>에는 공시 모터의 제원(諸元)을 나타냈다.
<그림 3>은 투자율 분포를 고정해 고조파 상당의 교류를 입력한 FEM 자계 해석의 일례를 나타낸 것이다. 한편, 해석 조건으로 소용돌이전류는 각각의 자석에서 총계가 0이 되도록 했다. 그림을 보면 자석에 흐르는 소용돌이전류에 의해, 특히 d축 자속이 d축에 대해 대칭으로 흐르지 않고 자속 흐름에 영향이 있음을 알 수 있다. <그림 4>에는 정격속도에서의 고조파 리액턴스 특성을 나타냈다. 이 그림을 통해 100㎐ 이하의 영역에서는 χdd , χqq와도 거의 일정한 값이 되는 것을 알 수 있다. 그러나 1,000㎐를 넘으면 서서히 변화한다.

 


[그림 4] 고조파 리액턴스 해석 결과


χdd는 주파수에 대해 감소 경향, χqq는 주파수에 대해 증가 경향을 보이는 것을 알 수 있다. d축의 경우, 주파수가 증가하면 자석에 발생하는 소용돌이 전류 역시 함께 증가하고, 이 소용돌이전류가 전기자전류에 의한 d축 자속을 감자(減磁)하는 방향으로 흐르기 때문인 것으로 생각된다. q축의 경우, 투자율을 부하 상태로 고정해 계산하기 때문에 자기
포화의 영향이 d축에서 강하게 나타나는 반면, q축의 포화 상태는 약하다. q축 전류에 대해서는, 자석에 흐르는 소용돌이전류가 만드는 누설자속이 전기자전류에 의한 q축 자속과 같은 방향으로 흐르기 때문에, q축 자속이 증가해 χqq가 주파수에 대해 증가경향을 보이는 것으로 생각된다. 다만, 이들 χdd , χqq 의 변화에 대해서는 자석의 소용돌이전류로 인한 영향을 포함해 상세한 검토가 필요하다. 앞으로 부하 상태에 따른 변화도 검토사항에 반영해 더욱 심도 있는 현상 고찰로 정리해 나갈 계획이다.
이상의 리액턴스 주파수 특성을 (9), (10)의 식의 χdd , χqq 에 편승해 dq축 방정식에 의한 전류 파형 해석을 함으로써 인버터 구동 전압 파형에서 모터 입력 전류 파형을 산출할 수 있다.
<그림 5>는 선간전압 파형의 실측 결과를 2,000차까지의 스펙트럼 정보를 바탕으로 재합성한 결과를 나타낸 것이다. 여기에 사용한 인버터는 삼각파 비교 방식의 커리어 주파수 4㎑이며, 데드 타임 보상은 행하지 않았다. 이 전압 파형이 푸리에 (Fourier) 전개한 각 차수를 바탕으로 전류 파형을 해석한다.

 


<그림 6>에는 전류 파형의 실측 결과와 산출 결과를 나타냈다. 그림에 나타난 전류 파형은 <그림 5>의 전압 위상과 동기(同期)시켜 표시했다. 또한 산출에 이용한 리액턴스 값은 <표 2>와 같다. <그림 6>의 ⒜에 나타난 전류 파형은 기본파 선형 리액턴스를 이용한 전류 파형으로, 실측 파형과 비교하면 비트 현상이나 위상이 바르게 재현되지 않았다. <그림 6>의 ⒝는 dq축 상호 간섭을 고려한, 기본파 리액턴스를 이용해 파형 해석을 한 결과이다. 그 결과, 전류 파형의 위상이 실측 파형과 대체로 일치하지만, 비트 현상의 진폭이 재현되지는 않는다. 이는 자석에 소용돌이전류가 흘러 자속이 감쇠하기 때문에 비(非)동기의 고조파 자속에 대해서는 자석에 소용돌이전류가 흐름으로써 리액턴스가 저하한다.
그 때문에 기본파 리액턴스를 이용하는 경우 고조파 성분이 커지는 만큼 리액턴스는 외관상 커지며, 실제 리액턴스는 고조파에 대해 저하하는 것으로 보인다.

 



<그림 6>의 ⒞는 고조파 리액턴스를 고려한 전류파형 해석 결과로, 전류 파형은 실측과 해석 결과가 서로 일치함을 알 수 있다. 이에 따라 기본파 리액턴스만을 고려해서는 전류 파형이 충분히 재현되지않음을 확인할 수 있었다.

 


<그림 7>은 전류 파형을 푸리에 급수 전개에 따른 고조파 분석을 한 결과를 나타낸 것이다. 50차 전후의 고조파 차수에 착안하면 실측 파형의 고조파 함유율은 1.4%이며, 기본파 리액턴스만 고려한 경우의 고조파 함유율은 약 0.6%이다. 그러나 고조파 리액턴스를 고려한 경우의 고조파 함유율은 약 1.5%로 실측치와 거의 일치하는 것을 알 수 있으며, 고조파 리액턴스를 고려한 경우의 재현성이 향상됐다. 또한 <그림 8>은 d축, q축 전류 파형 해석결과이다. 그림을 통해 d축에 비해 q축이 고조파 전류 성분이 적은 것을 확인할 수 있다. <그림 4>에서 d축 리액턴스는 고조파에 있어서 감소하고 q축 리액턴스는 반대로 증가하기 때문에 <그림 8>과 같은 d축, q축 전류 파형이 된 것으로 생각된다.
이상 고조파 리액턴스를 고려해 고 정밀도의 전류파형을 해석할 수 있음을 제시했다.

마무리

본고에서는 고조파 영역의 리액턴스를 고려한 dq축 방정식에 근거해 전류 파형 산출법을 제안하고 실측 결과와 비교 · 검증했다. 본고의 결론을 정리하면 다음과 같다.
⑴ dq축 사이의 교차 자화 작용과 고조파 리액턴스를 고려한 dq축 방정식에 의해 PWM 인버터 구동 PMSM의 전류 파형을 고 정밀도로 계산하는 방법을 소개했다.
⑵ 공시기를 통해 검증한 결과, 고조파 리액턴스를 고려해 계산한 전류 파형의 비트 발생 상황, 위상각은 실측을 잘 재현할 수 있음을 확인했다.
⑶ 인버터 전류에 포함되는 고조파에 의해 자석에 소용돌이전류가 발생하고 d축 리액턴스, q축 리액턴스와 함께 고조파 특성을 나타낼 수 있음을 확인했다.

 
교차 자화 작용(Cross Magnetization)
직류기에 있어서의 전기자전류 혹은 동기기에 있어서의 가로축 부하전류 성분과 같이 주계자(혹은 직축 계자)에 대해 직각 방향으로 작용하는 자화 작용. 동기기의 경우에는 부하 역률이 100%일 때 교차 자화 작용은 최대이다.

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