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[회전기의 3차원 전자계 해석기술과 그 응용 ①]
해석기술의 최신 동향
본고에서는 유한요소법을 이용한 회전기의 전자계 해석기술 동향으로서 회전기의 3차원 전자계 해석 실용화 기술 조사 전문 위원회에 의해 검토가 진행된 PWM 인버터 여자하 전자 강판의 철손 추정법과 계산기 환경을 사용한 공유 메모리형 및 분산 메모리형에 의한 고속화 병렬 계산 기법을 소개한다.
정리 편집부
최근 컴퓨터의 비약적인 성능 향상으로 과거에 취급이 어려웠던 막대한 계산량을 개인용 컴퓨터(PC)로 단시간에 처리가 가능해지면서 모터의 설계에 유한요소법(Finite Element Method: FEM)에 의한 전자계 해석이 널리 도입되게 되었다. 유한요소법에 의한 전자계 해석은 형상 효과와 재료의 비선형 특성을 고려한 해석이 가능하다. 이에 따라 모터 내의 복잡한 전자기 현상을 검토하기 위해 보다 실제 기기에 가까운 3차원 모델 해석을 위한 고속화 기법과 고정밀도의 철손 추정 기법이 연구·개발되고 있다. 최근에는 PWM(Pulse Width Modulation 제어 방식) 인버터 여자에 의해 발생하는 캐리어 주파수에 기인하는 고조파를 고려한 철손 평가 및 응력 해석과 전자계 해석을 연계하여 회전기의 특성 해석 및 형상 최적화, 철심의 응력을 고려한 철손 평가 등 전자계 해석을 적극적으로 이용한 모터의 특성 분석 및 손실 저감에 관한 논문이 다수 보고되고 있다. 또한, 전자계 해석의 고속화 기법으로서 ▲공유 메모리형(SMP)과 분산 메모리형(DMP) 병렬 계산 기법 ▲GPU에 의한 병렬 계산 기법 ▲시간 영역 병렬화 유한요소법에 의한 유도 전동기 해석의 고속화 기법 등이 제안되고 있다. 여기서는 최근의 해석기술의 동향으로서 PWM 인버터 여자하에서의 철손의 기본적 특성과 철손 산정 기술에 대해 검토가 진행된 일례와 함께 계산기 환경을 사용한 공유 메모리형 및 분산 메모리형에 의한 고속화 병렬 계산 기법을 소개한다.
PWM 인버터 여자하 전자 강판의 철손 특성
모터의 여자(勵磁) 시에는 속도 제어가 용이한 PWM 인버터가 일반적으로 널리 사용되고 있다. 그러나 그 여자 방식에 기인하는 전류 파형에 중첩하는 고조파로 정현파 전압을 여자한 경우와 비교해 모터의 핵심 재료인 전자 강판에서 발생하는 철손 및 금속계 소결자석(燒結磁石, sintered magnet)에서 발생하는 와전류손이 증가할 가능성이 있다. 그리하여 PWM 인버터 여자하에서의 전자 강판의 철손 측정 결과를 예로 들어 변조도(變調度)가 히스테리시스 루프 및 철손 증가에 미치는 영향에 대해 소개하기로 한다.
측정은 링 모양(내경 102mm, 외경 127mm)으로 가공한 20장의 무방향성 전자 강판 35A360을 압연 방향을 맞춰 포개어 쌓아 절연지를 감고, 측정 시료(자속밀도를 측정하는 B코일을 직렬 감기)를 유리섬유강화플라스틱제의 틀 안에 설치하여 위에서부터 아래층의 여자 코일을 249 차례 감으면서 이루어진다. 시료 내의 자속밀도B는 B코일에서 검출하고, 자계의 세기H는 여자전류법에 의해 여자전류와 평균 자로(磁路) 길이로부터 구한다. 자성체에 교류 자계를 인가한 경우의 철손W[W/kg]은 측정되는 자속밀도와 자계 강도의 순시값을 각각 b[T]와 h[A/m]로 하면 다음 (1)과 같이 주어진다. c[kg/m³]는 밀도, T[s]는 주기로 한다.
펄스 폭 변조 방식인 PWM 인버터의 파형은 신호파와 반송파가 비교되면서 신호가 만들어진다. 반송파(삼각파)의 주파수를 캐리어 주파수 fc라 하고, 신호파의 주파수를 기본파의 주파수 f0으로 정의한다. 또 변조도 m을 신호파의 진폭 E0과 반송파의 진폭 Es의 비율, 즉 m=E0/Es로 정의한다. 기본파의 주파수 f0=50Hz, 캐리어 주파수 fc=10kHz로써 변조도 m을 변화시켰을 때의 무방향성 전자 강판 35A360의 히스테리시스 루프와 그때의 B 파형과 H 파형을 [그림 1]에 나타냈다. 여기서 히스테리시스 루프에 주목하면, 변조도 m의 값이 작아짐에 따라 고조파 성분이 증가하여 루프 면적이 증가하는 것을 알 수 있다. 이것은 [그림 1](f)에서 H 파형의 고조파 성분의 증가로 명확하게 드러나고 있다. [그림 2]에 f0=50Hz, fc=2.5kHz로 일정하게 했을 때 m을 변화시킨 경우의 철손 W의 측정결과를 나타냈다. m이 작아지면 철손은 증가하는 경향을 보이며, 정현파 전압을 인가한 경우의 철손 값을 기준으로 하면, m=0.4에서 최대자속밀도가 Bm=1T일 때 철손은 34% 증가한다.
 
PWM 인버터 여자하 전자 강판의 철손 추정
변형파 및 PWM 인버터 여자 시의 철손에 관해서도 철손을 ▲히스테리시스손 ▲고전적 와전류손 ▲이상 와전류손으로 분류하고 다양한 이론식을 사용한 추정 방법이 검토되어 왔다. 인버터 여자에 의해 특히 와전류손이 증가할 것으로 생각되지만, 이상 와전류손은 자벽의 이동에 기인하기 때문에 그 취급이 쉽지 않아 고전적 와전류손에 보정계수를 곱하여 이상 와전류손을 고려하는 방법이 제안되었으며, 회전기의 손실 해석에 적용된 사례도 보고되고 있다. 이 이상 와전류손의 보정계수를 이용한 철손 추정법을 통해 PWM 인버터 여자하의 전자 강판 1장을 대상으로 유한요소법에 의한 비선형 와전류 해석을 실시, 실측치와 비교함으로써 인버터 여자하에서의 와전류손 추정 기법의 타당성에 대한 검토가 이루어지고 있다.
유한요소법을 이용한 해석 모델
해석 모델은 실험에서 사용된 링 모양의 무방향성 전자 강판 35A360으로, 도전율은 2.22×106S/m로 한다. 실험에서는 링 시료를 20장 적층하는데 적층된 전자 강판은 서로 영향을 주지 않는 것으로 하여 1장(해석 영역은 판두께 1장의 1/2, 3deg 영역)의 비선형 와전류 해석을 실시한다. 분할도(分割圖)를 작성할 시에는 표피 깊이 δ영역이 충분히 세밀하게 요소 분할될 수 있도록 1/2장을 26층으로 분할하고 전자 강판 주위에 공기층은 없도록 한다. 무방향성 전자 강판의 와전류손 해석값과 실측값의 비교를 실시함에 있어 실험에서 얻어진 자속밀도 파형을 자기 벡터 퍼텐셜 A로 하고, 전자 강판 표면의 경계 조건으로 사용하여 3차원 유한요소법에 의해 해석을 실시한다. 와전류손 We*은 (2)로 계산된다.
 T는 주기, Je는 와전류 밀도, σ는 도전율, V는 와전류가 흐르는 도체의 체적이다. 해석시의 step 수에 관해서는 캐리어 주파수가 2.5kHz일 때 1주기 6250step, 캐리어 주파수가 15kHz일 때에는 25000step으로 한다. (2)를 풀어서 얻어지는 와전류손에는 자벽 이동에 따른 이상 와전류손이 고려되지 않았다. 그리하여 보정계수를 이용하는 다음의 방법에 의해 이상 와전류손을 고려한다.
정현파 여자하의 철손을 히스테리시스손 Wh와 와전류손 We의 합으로 나타내고, 히스테리시스손 계수를 Kh, 와전류손 계수를 Ke라 하면, 자속밀도의 진폭 값 Bm과 주파수 f를 이용하여 (3)으로 나타낼 수 있다.
 또한, 링 시료의 고전적 와전류손에 와전류손 보정계수 κ를 곱한 손실 We’는 (4)로 나타낼 수 있다.
 여기서 d는 판두께, w는 시료 폭, ρ는 밀도, r₁, r₂는 시료의 내부 반경, 외부 반경이다. (3)의 We와 (4)의 We’ 를 동일하게 두면 κ는 (5)로 나타낼 수 있다.
 [그림 3]에 철손을 분리했을 때의 We와 κ를 나타냈다. 와전류손 We는 25Hz와 50Hz에서 정현파 여자 시의 철손 측정값으로부터 (3)을 이용하여 2주파법에 의해 철손을 분리한 값이다. 유한요소법에 의해 얻어진 (2)의 와전류손 We*에 각각의 Bm에 따른 κ를 곱하여 이상 와전류손을 포함한 와전류손의 계산을 실시한다.
해석 결과의 검증
[그림 4]에 캐리어 주파수 fc를 2.5kHz로 했을 때의 변조도 m이 와전류손에 미치는 영향에 대해 측정값과 계산값의 비교를 실시한 결과를 나타냈다. m=0.9, 0.6일 때에는 실측값과 계산값이 비교적 잘 일치하고 있다. 그러나 m=0.4일 때에는 Bm=0.8~1.5T 부근에서 실측값과 계산값이 일치하지 않는다. 이것은 m=0.4인 경우가 고조파 성분이 많기 때문인 것으로 판단된다. 또한, m=0.4일 때의 측정 결과에 약하지만 마이너 루프가 발생하고 있기 때문에 2주파법으로는 제대로 철손을 분리할 수 없다. 게다가 35A360은 상용 주파수에서 히스테리시스손이 지배적으로 나타나고 있으며, 히스테리시스손의 분리가 정확하지 않으면 와전류손은 큰 오차를 발생시킬 수 있다. 향후 보다 정밀한 철손 분리법으로 실험의 정확도를 높여 검토가 진행될 필요가 있다.
병렬화 계산 기법에 의한 고속화
공유 메모리형 병렬 계산 공유 메모리형 병렬 계산(SMP)은 단일 노드의 복수 코어로 구성된 1대의 계산기상에서 OpenMP 라이브러리를 사용하여 실현된다. 상호 참조 데이터를 공유 메모리상에 둘 수 있기 때문에 데이터 통신의 필요 없이 병렬 처리가 가능하지만, 분산 메모리형 병렬 계산(DMP)과는 달리 한정된 부분에만 병렬 처리가 된다. SMP 방식의 FEM 병렬화를 실현하는 방법으로는 통상 Block ICCG법이 사용되는데 풀어야 할 행렬방정식을 병렬 수만큼 분할하여 각각에 불완전 콜레스키(IC) 분해를 실시함으로써 IC 분해에서의 순차계산을 없앤 ICCG법의 병렬 처리가 가능해진다. 발전기 모델과 집중권 IPMSM(D1 모델)에 있어서 병렬화 효율이 검토되고 있다. 모두 3차원 모델로, 요소 수는 발전기 모델이 143180, D1 모델이 412776이다. [표 1]에 발전기 모델을, [표 2]에 D1 모델의 대수(臺數) 효과를 나타냈다. 또한, 발전기 모델은 2step, D1 모델은 전체 61step의 1step 평균치이다.  발전기 모델은 병렬의 수 2, 4와 선형에 대수 효과가 나타나고 있으며, 4병렬에서 2.15배 고속화가 실현되고 있다. D1 모델에서는 4병렬에서 다소 침체되는 기미를 보이고 있다. 이는 Block IC 분해에 있어서 병렬의 수가 늘어나면 무시되는 행렬 요소도 늘어나게 되므로 수렴 특성이 악화되는 것이 원인으로 작용하는 것인데 그래도 1.89배의 고속화가 실현되고 있어 유용한 기법이라고 할 수 있다.
영역 분할법에 의한 분산 메모리형 병렬 계산 분산 메모리형 병렬 계산은 복수 노드로 구성된 클러스터형 계산기상에서 Message Passing Interface(MPI) 라이브러리를 사용하여 실현된다. SMP 방식과는 달리, 모델 데이터를 공통의 메모리상에 둘 필요가 없어 여러 대의 계산기로 분산처리가 가능하다. DMP 방식의 FEM 병렬화를 실현하는 방법 중 하나로 영역 분할법이라는 것이 있다. 이는 해석 영역을 여러 주요 영역으로 분할하고, 작은 영역별로 프로세스를 할당하여 상호 참조하는 데이터는 프로세스 간의 통신을 실시해 병렬로 계산시키는 기법이다. 영역 분할법에 따른 병렬화 기법에는 몇 가지 종류가 있지만, 여기서는 분할된 작은 영역에 오버랩 요소를 설치하는 기법과 A-φ법을 사용한 회전기의 자계 해석의 적용 사례를 소개한다. [그림 5]에 A-φ법을 적용하기 위한 영역 분할의 예를 나타냈다. 여기서는 매트릭스 생성 시에 통신을 발생시키지 않도록 각각의 작은 영역에 오버랩 요소를 두고 있다. 작은 영역이 가지는 변 및 절점(節點)은 통신의 관점에서 다음의 3가지로 분류된다.
외변·외점: 영역 분할 후 오버랩 요소에 포함되는 변· 절점으로서 그 작은 영역에 가해진 변·절점. 경계변·경계점: 오버랩 요소에 포함되는 변·절점 중 외변·외점 이외의 변·절점. 내변·내점: 외변·외점 이외의 변·절점(경계변·경계점도 포함).
어느 작은 영역의 외변·외점은 그 작은 영역에 인접하는 작은 영역의 경계변·경계점이 된다. 그 때문에 어느 작은 영역의 외변·외점의 데이터는 인접하는 작은 영역의 경계변·경계점에서 통신으로 얻을 수 있고, 또 어느 작은 영역의 경계변·경계점의 데이터는 인접하는 작은 영역의 외변·외점에 대해 통신으로 보낼 수 있다. 이와 같이 오버랩 요소와 외변·경계변 및 외점·경계점의 관계를 이용하면 모든 변과 절점의 데이터를 과부족 없이 처리할 수 있다. 또한, 4면체 요소로 구성된 분할도의 영역 분할에는 미네소타 대학에서 개발된 멀티 레벨 그래프 이론에 기초한 영역 분할 도구 「METIS」를 사용한다. 병렬화된 A-φ법의 유용성에 관해서는 Intel Core i7 프로세서(2.93GHz)를 탑재한 8대의 PC 클러스터를 이용한 IPM 모터의 전류 입력 해석을 실시, 제안된 기법의 퍼포먼스(성능) 및 유용성이 보고되고 있다. 본 모델의 요소수는 1100862이다.
[표 3]에 ICCG법의 반복 횟수를 나타냈다. 1~8대 중 어느 대수로 계산하더라도 병렬화된 A-φ법은 A법보다 약 2.5배 이상 빨랐다. 이것은 제안된 기법에 의해 ICCG의 반복 횟수가 기존 대비 1/5 정도로 저감되기 때문이다. [표 4]에 병렬 계산의 퍼포먼스를 나타냈다. 8대로 계산한 경우의 계산 속도를 1대로 계산한 경우와 비교하면 A법의 경우 약 7.2배, A-φ법의 경우 약 5.6배로, 대수 효과가 낮아지고 있다. 이는 A-φ법에서는 벡터 퍼텐셜 A뿐만 아니라, 전기 스칼라 퍼텐셜 φ의 통신도 요구되기 때문인 것으로 판단된다.  
<Energy News>
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